수 II 함수의 연속 함수의 극한값과 함수값이 다른 부분에  어떻게 좌극한과 우극한이 다른 부분이

아, 좋은 질문이에요! 함수의 연속과 극한 개념에서 헷갈릴 수 있는 부분이라 차근차근 설명해볼게요.

1. 좌극한, 우극한과 극한값

• 어떤 점 x=ax = a

• x=a에서

• 좌극한: lim⁡x→a−f(x)lim_{x to a^-} f(x)

• limx→a−​f(x)

• 우극한: lim⁡x→a+f(x)lim_{x to a^+} f(x)

• limx→a+​f(x)

• **극한값(한계값)**이 존재하려면,

• lim⁡x→a−f(x)=lim⁡x→a+f(x)=Llim_{x to a^-} f(x) = lim_{x to a^+} f(x) = L

• x→a−lim​f(x)=x→a+lim​f(x)=L

• 즉, 좌극한과 우극한이 같아야 하고 그 값이 LL

• L일 때 lim⁡x→af(x)=Llim_{x to a} f(x) = L

• limx→a​f(x)=L이 존재한다고 해요.

• 만약 좌극한과 우극한이 다르면 극한값은 존재하지 않습니다.

2. 함수값과 극한값이 다른 경우

• 함수값 f(a)f(a)

• f(a)는 aa

• a에서 정의된 값입니다.

• 극한값은 x→ax to a

• x→a일 때 함수값들이 한 점으로 수렴하는지를 보는 거예요.

중요한 점은, 극한값과 함수값은 별개의 개념입니다.

3. 좌극한과 우극한이 다르면 극한값은 존재하지 않는데, 연속과 함수값 비교는 왜 하나요?

• 연속성 정의를 보면,

• f가 x=a에서 연속  ⟺  lim⁡x→af(x)=f(a)f text{가 } x=a text{에서 연속} iff lim_{x to a} f(x) = f(a)

• f가 x=a에서 연속⟺x→alim​f(x)=f(a)

• 그런데 만약 극한 자체가 없으면(좌·우극한이 다르면) 위 식이 성립하지 않으니 당연히 연속이 아닙니다.

• 그러니까 극한이 존재하지 않으면 함수값과 비교할 이유 자체가 없고, 연속이 아니다라고 바로 결론 내리면 돼요.

4. "유니콘과 말의 무게 비교" 비유가 적절한가?

• 네, 비슷하게 볼 수 있어요.

• 극한값이 존재하지 않는다는 건 "유니콘" 같은 존재라 실제로 확인할 수 없고,

• 함수값은 "말" 같은 실제 존재죠.

• 두 가지를 비교한다는 건 의미가 없고, 비교하는 순간부터 오류가 발생하는 거예요.

정리

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